圆周率π的一些有趣的巧合

2021-03-14 11:25:08 来源:EETOP

今天是3月14日,一年一度的圆周率日来临,这一天也称为π节(英语π day)。有些人也许在下午1时59分26秒庆祝,以象征圆周率π的8位近似值3.1415926。

关于π的起源

现在的我们都知道圆的周长与直径之比是π≈3.14,知道它是一个无理数,也是一个超越数。

其实,人们对π的理解经历了一个漫长的过程。

圆周率π的一些有趣的巧合

圆周率自诞生伊始,便与人类“纠缠”了近4000年。

而π,在希腊字母中排行第16位,是希腊语περιφρεια(边界、圆周之意)的首字母。尽管在四大古文明里早就有它的身影,但是,π真正作为一个通用常数被重新定义,也不过是近300年的事情。

据史料记载,1631年,π首次出现在数学家威廉奥特瑞德的著作《数学之钥》中;1706年,英国数学家威廉琼斯在他编写的数学教材《新数学导论》里也提到了π。

不过,此时的π估计还是欠些火候,并没有引起数学界太大的关注,直至遇到欧拉。

1748年,欧拉的代表作《无穷小分析引论》出版,在这本著作里,欧拉建议用符号“π”来表示圆周率,并且直接在里面使用了π。

在欧拉的积极倡导下,π终于成为了圆周率的代名词。

圆周率π的一些有趣的巧合

圆周率的一些巧合

爱因斯坦的生日

3月14日是爱因斯坦的生日,阿尔伯特·爱因斯坦出生于1879年3月14日。

由于爱因斯坦在普林斯顿生活了很长一段时间,因此,在每年的3月14日,普林斯顿都会举办很多活动,同时庆祝圆周率日兼爱因斯坦生辰。

除了常规的吃派活动,以及π值背诵比赛之外,在这一天,还有一个爱因斯坦cosplay比赛。

圆周率π的一些有趣的巧合

霍金在这一天去世

关于3.14,还有另一个令人意外的事实:最接近宇宙的男人--霍金去世也是在这一天(2018年3月14日)。

霍金的离去,似乎又再一次提醒世人,记住这个特殊的日子。

π决定了河流的曲折程度?

相信大部分模友都听说过这个说法:地球上所有河流的长度都大致等于从起点到终点直线距离的π倍。人们统计过的河流越多,平均值就越接近π。。。

最伟大的数学公式输出结果等于0

不论是高等数学还是大学物理,欧拉公式都如影随形。因为其重要性和划时代意义,Euler Formula(欧拉公式)有着很多了不起的别称,例如“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”等等。

圆周率π的一些有趣的巧合

欧拉发表于公元1748年的数学公式,将三角函数与复指数函数巧妙地关联了起来。

圆周率π的一些有趣的巧合

其中,e 为自然常数,i 为虚数,x 则是以弧度为单位的参数(变量)。

尤其是当参数x 等于π 的时候,欧拉公式可简化成为:

圆周率π的一些有趣的巧合

上式将5个微妙且看似无关的数学符号e、i、π、0、1紧密地联系了起来,其美妙之处让人称绝。

任取两个正整数,他们互质的概率为6/π² 

任取两个正整数,他们互质的概率为6/π²,也就是60.79%。这个结果证明起来需要用到欧拉乘积公式,就不在这里赘述了,大家可以上网查查。

选取样本越大,越接近6/π²。那么在10以内,任取两个自然数互质的概率是多少呢?

对于这样的问题,没有其他办法,好在10这个范围不大,可以用枚举方式来进行。  

圆周率π的一些有趣的巧合

其中1与任何数都是互质的,任意素数之间也都是互质的。于是我们得出10以内的自然数互质的概率就是63/100=0.63。看上去已经于0.6079差距不大了。

圆周率的无尽数字可包含任意组合

圆周长与直径之比,无穷无尽,永不重复。在这串数字中,包含每种可能的组合。你的生日、储物柜密码、身份证号码,都在其中某处。如果把这些数字转换为字母,就能得到所有的单词,无数种组合。你婴儿时发出的第一个音节,你心上人的名字,你一辈子从始至终的故事,我们做过或说过的每件事,宇宙中所有无限的可能,都在这个简单的圆中。用这些信息做什么,它有什么用,取决于你们。

当然如果要想找出诸如你的身份证号码这样的连续数字,π的展开值的位数或许将是一个天文数字。

不过在不多的展开位数中,数学家已经找出了一些如下有趣的数字组合及规律:

(1) π的展开值中第60~69位的数字4592307816,恰好是0~9这十个数字。π的展开值中连续出现0~9这十个数字的概率为0.00036288…

(2) π计算到小数点后第710100位时,连续出现七个3。

(3) π的前两位数字31、前六位数字314159组成的数是两个回文质数。

(4) π的小数点后三位141,数字和=6=1+2+3;后七位1415926,数字和=28=1+2+3+4+5+6+7.

圆周率π的一些有趣的巧合

(6)用π的第n位数字去代替图14左图中的n,会得到一张图15右图所示的有趣的数表——各行、各列数字之和分别是5个相同的数.

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